【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AB∥CD,AB⊥AD,PA⊥平面ABCD,E是棱PC上一点.
(1)证明:平面ADE⊥平面PAB.
(2)若PE=4EC,O为点E在平面PAB上的投影,,AB=AP=2CD=2,求四棱锥P-ADEO的体积.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
(1) 由PA⊥平面ABCD,可得PA⊥AD,又AB⊥AD,则AD⊥平面PAB即可证得结论;
(2) 取AB的中点F可得CF⊥AB,进而有CF⊥面PAB,即EO∥CF,可知O点在线段PF上,由已知可得PO=4OF即,因为,则,因为,代入即可得出结果.
(1)证明:因为PA⊥平面ABCD,平面ABCD,所以PA⊥AD,
又AB⊥AD,PA∩AB=A,所以AD⊥平面PAB,
又平面ADE,所以平面ADE⊥平面PAB;
(2)解:取AB的中点F,
所以CF∥AD,则CF⊥AB,
又PA⊥CF,PA∩AB=A,所以CF⊥面PAB,
则EO∥CF,即O点在线段PF上,
又PE=4EC,所以PO=4OF,,
则,,
,.
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【题目】某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国70周年”的知识竞赛.从这两个年级各随机抽取了40名学生,对其成绩进行分析,得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表.
成绩分组 | 频数 |
高二
(1)若成绩不低于80分为“达标”,估计高一年级知识竞赛的达标率;
(2)在抽取的学生中,从成绩为的学生中随机选取2名学生,代表学校外出参加比赛,求这2名学生来自于同一年级的概率.
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【题目】“柯西不等式”是由数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的,但从历史的角度讲,该不等式应当称为柯西﹣﹣布尼亚科夫斯基﹣﹣施瓦茨不等式,因为正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之,才将这一不等式推广到完善的地步,在高中数学选修教材4﹣5中给出了二维形式的柯西不等式:(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2当且仅当ad=bc(即)时等号成立.该不等式在数学中证明不等式和求函数最值等方面都有广泛的应用.根据柯西不等式可知函数的最大值及取得最大值时x的值分别为( )
A.B.C.D.
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,PA=PD,∠DAB=60°.
(1)证明:AD⊥PB.
(2)若PB=,AB=PA=2,求三棱锥P-BCD的体积。
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