Question

某几何体的三视图如图所示，当a+b取最大值时，这个几何体的体积是

 

．

Answer 1

分析：由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱锥，底面一边长为1的直角三角形，一条棱长为

6

，由于本题中含有两个参数，且需求满足两者和最大时的体积，故本题第一步是找到关于a，b的表达式，先求其和最大时两参数的值，再由体积公式求体积，观察发现，可以先用参数a，b表示出PC，PB的值，在直角三角形BPC中用公股定理建立关于a，b的方程，研究此方程求出满足条件的参数的值再求体积即可．

解答：解：由题设可得其直观图如图，由三视图知，PA，PB，PC两两垂直
PA=1，BC=

6

，AB=b，AC=a
如图有PC=

a2-1

，PB=

b2-1

在直角三角形BPC中有PC²+PB²=BC²=6，即a²-1+b²-1=6，即a²+b²=8
可设a=2

2

cosθ，b=2sinθ，θ∈（0，2π）
则a+b=2

2

cosθ+2

2

sinθ=4sin（θ+

π

4

）≤4，最大值当θ=

π

4

时取到
此时a=b=2，验证知符合题意
由此知PC=

a2-1

=

3

，PB=

b2-1

=

3

故底面三角形APB的面积为

3

2

，棱锥的体积为

1

3

×

3

2

× 

3

=

1

2

故答案为

1

2

．

点评：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是三棱锥的体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等”．三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能．本题增加了最值问题的考查，题目难度增加，综合性较强．