Question

【题目】设数列{an}的前n项和为Sn ， a1=10，an+1=9Sn+10．
（1）求证：{lgan}是等差数列；
（2）设Tn是数列{ }的前n项和，求Tn；
（3）求使Tn＞ （m2﹣5m）对所有的n∈N*恒成立的整数m的取值集合．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a1=10，an+1=9Sn+10．

∴当n=1时，a2=9a1+10=100，

故 ，

当n≥1时，an+1=9Sn+10 ①，

an+2=9Sn+1+10 ②，

两式相减得an+2﹣an+1=9an+1，

即an+2=10an+1，

即 ，

即{an}是首项a1=10，公比q=10的等比数列，

则数列{an}的通项公式 ；

则lgan=lg10n=n，

则lgan﹣lgan﹣1=n﹣（n﹣1）=1，为常数，

即{lgan}是等差数列；

（2）解：∵lgan=n，则 = （ ﹣ ），

则Tn=3（1﹣ +…+ ﹣ ）=3（1﹣ ）=3﹣ ，

（3）解：∵Tn=3﹣ ≥T1= ，

∴要使Tn＞ （m2﹣5m）对所有的n∈N*恒成立，

则 ＞ （m2﹣5m）对所有的n∈N*恒成立，

解得﹣1＜m＜6，

故整数m的取值集合{0，1，2，3，4，5}．

【解析】（1）根据等差数列的定义即可证明{lgan}是等差数列；（2）求出{ }的通项公式，利用裂项法即可求Tn；（3）直接解不等式即可得到结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解等差关系的确定的相关知识，掌握如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么这个数列就叫做等差数列，以及对数列的前n项和的理解，了解数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．