Question

16．一中高三年级在一次考试的数学题中，设立了平面几何、极坐标与参数方程的不等式三道选做题，若张明、王小强、李文3名学生必须且只需从中选做一题，且每名学生选做何题相互独立．
（1）求张明、王小强、李文3名学生有且只有一人选做平面几何，没有人选做不等式试题的概率；
（2）求这3名学生选做不等式或平面几何题的人数X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （1）基本事件总数为4³，张明、王小强、李文3名学生有且只有一人选做平面几何，没有人选做不等式试题包含的基本事件个数m=${C}_{3}^{2}×2×2$，由此利用等可能事件概率计算公式能求出结果．
（2）不等式或平面几何被这3名学生选做的人数ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答 解：（1）设“张明、王小强、李文3名学生有且只有一人选做平面几何，没有人选做不等式试题”为事件A，
则P（A）=$\frac{{C}_{3}^{2}×2×2}{{4}^{3}}$=$\frac{3}{16}$．
答：张明、王小强、李文3名学生有且只有一人选做平面几何，没有人选做不等式试题的概率为$\frac{3}{16}$．
（2）不等式或平面几何被这3名学生选做的人数ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=$\frac{{2}^{3}}{{4}^{3}}$=$\frac{8}{64}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}•{A}_{2}^{1}×{2}^{2}}{{4}^{3}}$=$\frac{24}{64}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}{A}_{2}^{1}×2+{C}_{3}^{2}{A}_{2}^{2}×2}{{4}^{3}}$=$\frac{24}{64}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{3}^{2}{A}_{2}^{2}+{C}_{3}^{3}{A}_{2}^{1}}{{4}^{3}}$=$\frac{8}{64}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{8}{64}$	$\frac{24}{64}$	$\frac{24}{64}$	$\frac{8}{64}$

Eξ=$0×\frac{8}{64}+1×\frac{24}{64}+2×\frac{24}{64}+3×\frac{8}{64}$=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．