Question

20．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的短轴两端点为B₁（0，-1）、B₂（0，1），离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，点P是椭圆C上不在坐标轴上的任意一点，直线B₁P和B₂P分别与x轴相交于M，N两点，
（Ⅰ）求椭圆C的方程和|OM|•|ON|的值；
（Ⅱ）若点M坐标为（1，0），过M点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，试求△ABN面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由b=1，离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则c²=$\frac{3}{4}$a²，由a²-b²=c²，代入即可求得a和b的值，求得椭圆方程，设点P（x₀，y₀），则直线B₁P方程为y=$\frac{{y}_{0}+1}{{x}_{0}}$x-1，y=0，得x_M=$\frac{{x}_{0}}{1+{y}_{0}}$，同理可得x_N=$\frac{{x}_{0}}{1-{y}_{0}}$，∴|OM|•|ON|=丨x_M丨•丨x_N丨=$\frac{{x}_{0}^{2}}{1-{y}_{0}^{2}}$=4；
（Ⅱ）设直线AB的方程为x=ty+1，代入椭圆方程，由韦达定理求得丨y₁-y₂丨=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{4\sqrt{{t}^{2}+3}}{{t}^{2}+4}$，S=$\frac{1}{2}$丨MN丨•丨y₁-y₂丨=$\frac{6}{\sqrt{{t}^{2}+3}+\frac{1}{\sqrt{{t}^{2}+3}}}$，由函数的单调性即可求得△ABN面积的最大值．

解答 解：（Ⅰ）椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，由B₁（0，-1）、B₂（0，1），知b=1，…（1分）
由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则c²=$\frac{3}{4}$a²，由a²-b²=c²，
a²-1=$\frac{3}{4}$a²，解得：a²=4，
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；…（3分）
设点P（x₀，y₀），则直线B₁P方程为y=$\frac{{y}_{0}+1}{{x}_{0}}$x-1，
令y=0，得x_M=$\frac{{x}_{0}}{1+{y}_{0}}$，同理可得x_N=$\frac{{x}_{0}}{1-{y}_{0}}$，
∴|OM|•|ON|=丨x_M丨•丨x_N丨=丨$\frac{{x}_{0}}{1+{y}_{0}}$丨•丨$\frac{{x}_{0}}{1-{y}_{0}}$丨=$\frac{{x}_{0}^{2}}{1-{y}_{0}^{2}}$=4，
|OM|•|ON|=4；…（5分）
（Ⅱ）当点M坐标为（1，0）时，点N（4，0），丨MN丨=3，…（6分）
设直线AB的方程为x=ty+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{x=ty+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得（t²+4）y²+2ty-3=0，
则y₁+y₂=-$\frac{2t}{{t}^{2}+4}$，y₁•y₂=-$\frac{3}{{t}^{2}+4}$，…（8分）
丨y₁-y₂丨=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{（-\frac{2t}{{t}^{2}+4}）^{2}+\frac{12}{{t}^{2}+4}}$=$\frac{4\sqrt{{t}^{2}+3}}{{t}^{2}+4}$，
△ABN面积S=$\frac{1}{2}$丨MN丨•丨y₁-y₂丨=$\frac{3}{2}$•$\frac{4\sqrt{{t}^{2}+3}}{{t}^{2}+4}$=$\frac{6}{\sqrt{{t}^{2}+3}+\frac{1}{\sqrt{{t}^{2}+3}}}$，…（10分）
∵t²≥0，则$\sqrt{{t}^{2}+3}$+$\frac{1}{\sqrt{{t}^{2}+3}}$≥$\sqrt{3}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴S≤$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
因此当t=0，即直线AB的方程为x=1时，△ABN面积的最大值是$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．…（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理及三角形的面积公式的应用，考查计算能力，属于中档题．