Question

【题目】已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．
（1）若 =3 ，求直线AB的斜率；
（2）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由抛物线y2=4x的焦点在x轴上，焦点坐标F（1，0），

设直线AB的方程为：x=my+1，

则 ，整理得：y2﹣4my﹣4=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

由韦达定理可知：y1+y2=4m，y1y2=﹣4，

=（1﹣x1，﹣y1）， =（x2﹣1，y2），

∵ =3 ，

∴﹣y1=3y2，整理得：m2= ，解得：m=± ，

∴直线AB的斜率k= =± ，

直线AB的斜率 或﹣

（2）

解：由（1）可知：丨y1﹣y2丨= = =4 ，

四边形OACB面积SOACB=2SAOB= 丨OF丨丨y1﹣y2丨=丨y1﹣y2丨=4 ≥4，

当m=0时，四边形OACB的面积最小，最小值为4．

【解析】（1）由题意可知：设直线AB的方程为：x=my+1，代入抛物线方程，由韦达定理可知：y1+y2=4m，y1y2=﹣4，则 =（1﹣x1 ， ﹣y1）， =（x2﹣1，y2），由 =3 ，﹣y1=3y2 ， 解得：m=± ，即可求得直线AB的斜率；（2）由（1）可知：丨y1﹣y2丨= = =4 ，则四边形OACB面积SOACB=2SAOB= 丨OF丨丨y1﹣y2丨=丨y1﹣y2丨，即可求得4 ≥4，当m=0时，四边形OACB的面积最小，最小值为4．