Question

已知函数f（x）=x²-（c+1）x+c（c∈R）．
（1）解关于x的不等式f（x）＜0；
（2）当c=-2时，不等式f（x）＞ax-5在（0，2）上恒成立，求实数a的取值范围；
（3）设g（x）=f（x）-ax，已知0＜g（2）＜1，3＜g（3）＜5，求g（4）的范围．

Answer 1

分析：（1）f（x）＜0，可化为x²-（c+1）x+c=（x-1）（x-c）＜0，对c分类讨论，即可得到不等式的解集；
（2）当c=-2时，f（x）＞ax-5在（0，2）上恒成立，等价于x²+x-2＞ax-5在（0，2）上恒成立，即ax＜x²+x+3在（0，2）上恒成立，分离参数，求最值，即可求实数a的取值范围；
（3）利用0＜g（2）＜1，3＜g（3）＜5，建立不等式，将g（4）用g（2），g（3）表示，即可求g（4）的范围．

解答：解：（1）∵f（x）＜0，∴x²-（c+1）x+c=（x-1）（x-c）＜0…（1分）
①当c＜1时，c＜x＜1
②当c=1时，（x-1）²＜0，∴x∈φ
③当c＞1时，1＜x＜c…（3分）
综上，当c＜1时，不等式的解集为{x|c＜x＜1}，当c=1时，不等式的解集为φ，当c＞1时，不等式的解集为{x|1＜x＜c}．         …（4分）
（2）当c=-2时，f（x）＞ax-5在（0，2）上恒成立，等价于x²+x-2＞ax-5在（0，2）上恒成立，
即ax＜x²+x+3在（0，2）上恒成立，
∴a＜（

x2+x+3

x

）_min，
设g（x）=

x2+x+3

x

，则g（x）=x+

3

x

+1≥2

3

+1
当且仅当x=

3

x

，即x=

3

∈（0，2）时，等号成立
∴g（x）_min=2

3

+1
∴a＜2

3

+1；
（3）∵g（2）=f（2）-2a=2-c-2a，∴0＜2-c-2a＜1
∴1＜c+2a＜2
∵g（3）=f（3）-3a=6-2c-3a，∴3＜2-c-2a＜5，∴1＜2c+3a＜3…（10分）
∵g（4）=f（4）-4a=12-3c-4a
设-3c-4a=x（c+2a）+y（2c+3a）=（x+2y）c+（2x+3y）a…（11分）
∴

-3=x+2y -4=2x+3y

，∴

x=1 y=-2

…（12分）
∴-3c-4a=x（c+2a）+y（2c+3a）=（c+2a）+[-2（2c+3a）]
∵1＜c+2a＜2-6＜-2（2c+3a）＜-2，∴-5＜-3c-4a＜0，∴$\end{array}\right.7＜12-3c-4a＜12$…（13分）
∴7＜g（4）＜12…（14分）

点评：本题考查解不等式，考查函数恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．