Question

【题目】已知数列{an}满足a1=﹣1，a2=1，且 ．
（1）求a5+a6的值；
（2）设Sn为数列{an}的前n项的和，求Sn；
（3）设bn=a2n﹣1+a2n ， 是否存正整数i，j，k（i＜j＜k），使得bi ， bj ， bk成等差数列？若存在，求出所有满足条件的i，j，k；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意，当n为奇数时， ；当n为偶数时， ．

又a1=﹣1，a2=1，

∴ ，

即a5+a6=2

（2）解：①当n=2k时，Sn=S2k=（a1+a3+…+a2k﹣1）+（a2+a4+…+a2k）

= = = ．

②当n=2k﹣1时，Sn=S2k﹣a2k=

= = ．

∴

（3）解：由（1），得 （仅b1=0且{bn}递增）．

∵k＞j，且k，j∈Z，∴k≥j+1．

①当k≥j+2时，bk≥bj+2，若bi，bj，bk成等差数列，

则 = ，

此与bn≥0矛盾．故此时不存在这样的等差数列．

②当k=j+1时，bk=bj+1，若bi，bj，bk成等差数列，

则 = ，

又∵i＜j，且i，j∈Z，∴i≤j﹣1．

若i≤j﹣2，则bi≤bj﹣2，得 ，

得 ≤0，矛盾，∴i=j﹣1．

从而2bj=bj﹣1+bj+1，得 ，

化简，得3j﹣2=1，解得j=2．

从而，满足条件的i，j，k只有唯一一组解，即i=1，j=2，k=3

【解析】(1)对n分情况得出数列的通项公式，进而求出结果。（2）继续对n分情况讨论，得到S n。（3）首先证明{bn}递增，根据题意分情况当k≥j+2时，假设成等差数列成立，得出与bn≥0矛盾的结论，故这种情况不成立。再讨论当k=j+1时，假设成等差数列成立，根据已知可推导出只有唯一一组解满足要求。
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识点，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题．