Question

【题目】数列{an}满足a1= ，an+1﹣1=an（an﹣1）（n∈N*）且Sn= + +…+ ，则Sn的整数部分的所有可能值构成的集合是（ ）
A.{0，1，2}
B.{0，1，2，3}
C.{1，2}
D.{0，2}

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵数列{an}满足a1= ，an+1﹣1=an（an﹣1）（n∈N*）．
可得：an+1﹣an= ＞0，∴an+1＞an ， 因此数列{an}单调递增．
则a2﹣1= ，可得a2= ，同理可得：a3= ，a4= ．
= ＞1， = ＜1，
另一方面： = ﹣ ，
∴Sn= + +…+ = + +…+ = ﹣ =3﹣ ，
当n=1时，S1= = ，其整数部分为0；
当n=2时，S2= + =1+ ，其整数部分为1；
当n=3时，S3= + + =2+ ，其整数部分为2；
当n≥4时，Sn=2+1﹣ ∈（2，3），其整数部分为2．
综上可得：Sn的整数部分的所有可能值构成的集合是{0，1，2}．
故选：A．
【考点精析】利用数列的通项公式对题目进行判断即可得到答案，需要熟知如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．