Question

如图所示，某人在M汽车站的北偏西20°的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶，公路的走向是M站的北偏东40°，开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米．问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？

Answer 1

分析：在△ABC中，由余弦定理得cosC，然后利用同角三角函数的基本关系式求出sinC，通过sin∠MAC=sin（120°-C），在△MAC中求出MC，然后求解MB即可．

解答：解：设汽车前进20千米后到达点B，
则在△ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，
由余弦定理得cosC=

AC2+BC2-AB2

2AC•BC

=

312=202-212

2×31×20

=

23

31

，
则sinC=

1-cos2C

=

12 3

31

，…（4分）
由已知∠AMC=60°，∴∠MAC=120°-C，
sin∠MAC=sin（120°-C）=sin120°cosC-cos120°sinC=

35 3

62

…（8分）
在△MAC中，由正弦定理得MC=

AC•sin∠MAC

sin∠AMC

=

31× 35 3 62

3 2

=35    …（12分）
从而有MB=MC-BC=15（千米）
所以汽车还需行驶15千米，才能到达M汽车站．   …（13分）

点评：本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，三角形的解法，考查转化思想以及计算能力．