Question

在平面直角坐标系中，已知直线l过点A（2，0），倾斜角为

π

2

．
（1）写出直线l的参数方程；
（2）若有一极坐标系分别以直角坐标系的原点和x轴非负半轴为原点和极轴，并且两坐标系的单位长度相等，在极坐标系中有曲线C：ρ²cos2θ=1，求直线l截曲线C所得的弦BC的长度．

Answer 1

分析：（1）过点（a，b）倾斜角为θ的直线的参数方程为

x=a+tcosθ y=b+tsinθ

（t为参数），依此即可得过点A（2，0），倾斜角为

π

2

的直线l的参数方程；
（2）先将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，方法1可利用直线参数方程中参数t的几何意义求弦BC的长度，方法2可将直线的参数方程化为普通方程，与曲线C联立求弦BC的长度

解答：解：（1）直线l的参数方程可以写作

x=2+tcos π 2 y=tsin π 2

，即

x=2 y=t

（2）方法1：把曲线C的方程化为直角坐标方程，可得ρ²（cos²θ-sin²θ）=1，即x²-y²=1
把

x=2 y=t

代入上式得2²-t²=1∴t1=

3

，t2=-

3

故|BC|=|t1-t2|=|

3

-(-

3

)|=2

3

方法2：把曲线C的方程化为直角坐标方程，可得ρ²（cos²θ-sin²θ）=1，即x²-y²=1
依题意得直线l的直角坐标方程为x=2
由

x=2 x2-y2=1

可求得两个交点的坐标为B(2，

3

)，C(2，-

3

)
故|BC|=2

3

点评：本题考察了直线的参数方程及其意义和运用，曲线的极坐标方程，参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化