Question

实数列a，a₁，a₂，a₃…，由下述等式定义．
（Ⅰ）若a为常数，求a₁，a₂，a₃的值；
（Ⅱ）求依赖于a和n的a_n表达式；
（Ⅲ）求a的值，使得对任何正整数n总有a_n+1＞a_n成立．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用，代入求解即可；
（Ⅱ）由，得，令，所以，利用叠加法，可得，从而可得结论；
（Ⅲ）先得出，再对进行分类讨论，从而可得结论．
解答：解：（Ⅰ）∵，∴a₁=1-3a，a₂=-1+9a，a₃=7-27a…（2分）
（Ⅱ）由，得…（3分）
令，所以
所以b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）=
==
=，…（6分）
所以…（7分）
所以=
=…（8分）
（Ⅲ）∵
=
∴…（10分）
如果，利用n无限增大时，的值接近于零，对于非常大的奇数n，有a_n+1-a_n＜0；
如果，对于非常大的偶数n，a_n+1-a_n＜0，不满足题目要求．
当时，，于是对于任何正整数n，a_n+1＞a_n，因此即为所求．…（13分）
点评：本题考查数列递推式，考查数列通项的研究，考查恒成立问题，确定数列的通项是关键．