Question

已知函数f(x)=

(3a-1)x+5a，x＜1 logax，x≥1

（a＞0且a≠1），现给出下列命题：
①当其图象是一条连续不断的曲线时，则a=

1

8

；
②当其图象是一条连续不断的曲线时，能找到一个非零实数a使f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
③当a∈(

1

8

，

1

3

)时，不等式f（1+a）•f（1-a）＜0恒成立；
④函数y=f（|x+1|）是偶函数．
其中正确命题的序号是

①③

．（填上所有你认为正确的命题的序号）

Answer 1

分析：①要满足条件，则需要（3a-1）×1+5a=log_a1，解得即可；
②由①可得a的值，看是否满足增函数即可；
③由条件分别判断f（1+a）与f（1-a）的符号即可；
④根据偶函数的定义判断即可．

解答：解：①当其图象是一条连续不断的曲线时，则a满足：a＜0，a≠1，且（3a-1）×1+5a=log_a1=0，解得a=

1

8

，故①正确；
②当其图象是一条连续不断的曲线时，假设能找到一个非零实数a使f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，则a必须满足

a＞1 3a-1＞0 (3a-1)×1+5a=0

，解得a不存在，故②不正确；
或由①可知：当其图象是一条连续不断的曲线时，a=

1

8

，而此时log

1

8

x是减函数，故不符合题意，应舍去，即满足题意的a不存在；
③当a∈(

1

8

，

1

3

)时，1+a＞1，1-a＜1，∴f（1+a）=log_a（1+a）＜0，
f（1-a）=（3a-1）（1-a）+5a=-3a²+9a-1=-3(a-

3

2

)2+

23

4

，当a∈(

1

8

，

1

3

)时，此函数单调递增，而f(1-

1

8

)=

5

64

＞0，
∴当a∈(

1

8

，

1

3

)时，不等式f（1+a）•f（1-a）＜0恒成立，即③正确；
④y=f（|x+1|=

(3a-1) |x+1|+5a，当-2＜x＜0时 loga|x+1|，当x≥0或x≤-2时

，其图象关于y轴不对称，故不是偶函数，即④不正确．
综上可知：只有①③正确．
故答案为①③．

点评：正确理解函数的单调性和奇偶性是解题的关键．