【题目】已知四边形是矩形,
,将
沿着对角线AC翻折,得到
,设顶点
在平面
上的投影为O.
(1)若点O恰好落在边AD上,①求证:平面
;②若
,
,当BC取到最小值时,求k的值;
(2)当时,若点O恰好落在
的内部(不包括边界),求二面角
的余弦值的取值范围.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
由面面垂直的判定定理得平面
平面ACD,从而
,由线面垂直得
,由矩形性质得
,由此能证明
平面
.
作矩形ABMN,使得
在MN上,设
,
,求出y,利用基本不等式,即可求出当BC取到最小值时,k的值;
作
,交AC于E,交AD于F,当点O恰好落在
的内部
不包括边界
,点O恰好在线段EF上,
为二面角
的平面角,由此能求出二面角
的余弦值的取值范围.
证明:
点
在平面ABCD上的射影为O,点O恰好落在边AD上,
平面
平面ACD,又
,
平面
,
,
又,
平面
.
作矩形ADMN,使得
在MN上,
设,
,则
,
,
∽
,
,
在Rt中
,
当且仅当时取等号,y有最小值,
;
作
,交AC于E,交AD于F,
当点O恰好落在的内部
不包括边界
,点O恰好在线段EF上,
又,
,
为二面角
的平面角,
当时,由
,可得
,且
,
,
故二面角的余弦值的取值范围为
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【题目】以下四个关于圆锥曲线的命题中
①设A.B为两个定点,k为非零常数,,则动点P的轨迹为双曲线;
②曲线表示焦点在y轴上的椭圆,则
;
③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;
④双曲与椭圆
有相同的焦点.
其中真命题的序号( )
A.②③④B.①②③C.①③④D.①②④
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【题目】高二年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛,其中一班有3位,二班有2位,其它班有5位,若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序,则一班有3位同学恰好被排在一起(指演讲序号相连),而二班的2位同学没有被排在一起的概率为:( )
A. B.
C.
D.
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【题目】抛物线的焦点F为圆C:
的圆心.
求抛物线的方程与其准线方程;
直线l与圆C相切,交抛物线于A,B两点;
若线段AB中点的纵坐标为
,求直线l的方程;
求
的取值范围.
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【题目】如图,椭圆:
的左、右焦点分别为
,
轴,直线
交
轴于
点,
,
为椭圆
上的动点,
的面积的最大值为1.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作两条直线与椭圆
分别交于
且使
轴,如图,问四边形
的两条对角线的交点是否为定点?若是,求出定点的坐标;若不是,请说明理由.
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【题目】如图,四棱锥中,底面ABCD是正方形,平面
平面ABCD,平面
平面ABCD.
Ⅰ
证明:
平面ABCD;
Ⅱ
若二面角
的大小为
,求PB与平面PAD所成角的大小.
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【题目】已知椭圆的离心率为
,且椭圆C过点
.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过椭圆C的右焦点的直线l与椭圆C交于A、B两点,且与圆:交于E、F两点,求
的取值范围.
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