Question

在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=λa_n+λⁿ⁺¹+（2-λ）2n（n∈N⁺）．（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄，并猜想数列{a_n}的通项公式（不必证明）；（Ⅱ）证明：当λ≠0时，数列{a_n}不是等比数列；（Ⅲ）当λ=1时，试比较a_n与n²+1的大小，证明你的结论．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵a₁=2，
∴a₂=λa₁+λ²+2（2-λ）=λ²+4，
同理可得，a₃=2λ³+8，
a₄=3λ⁴+16，
猜想a_n=（n-1）λⁿ+2ⁿ．
（Ⅱ）假设数列{a_n}是等比数列，
则a₁，a₂，a₃也成等比数列，
∴a₂²=a₁•a₃?（λ²+4）²=2（2λ³+8）?λ⁴-4λ³+8λ²=0，
∵λ≠0，∴λ²-4λ+8=0，即（λ-2）²+4=0，
但（λ-2）²+4＞0，矛盾，∴数列{a_n}不是等比数列．
（Ⅲ）∵λ=1，∴a_n=（n+1）+2ⁿ，
∴a_n-（n²+1）=2ⁿ-（n²-n+2），
∵当n=1，2，3时，2ⁿ=n²-n+2，
∴a_n=n²+1．
当n≥4时，猜想2ⁿ＞n²-n+2，
证明如下：当n=4时，显然2^k＞k²-4+2
假设当n=k≥4时，猜想成立，即2^k＞k²-k+2，
则当n=k+1时，2^k+1=2•2^k＞2（k²-k+2），
∵2（k²-k+2）-[（k+1）²⁰-（k+1）+2]
=（k-1）（k-2）＞0
∴2^k+1＞2（k²-k+2）＞（k+1）²-（k+1）+2，
∴当n≥4时，猜想2ⁿ＞n²-n+2成立，
∴当n≥4时，a_n＞n²+1．
分析：（Ⅰ）利用数列的递推式分别求得a₂，a₃，a₄，猜想出a_n．
（Ⅱ）假设数列{a_n}是等比数列，则a₁，a₂，a₃也成等比数列，利用等比数列的等比中项的性质求得（λ-2）²+4=0，与（λ-2）²+4＞0矛盾，推断出假设不成立，故可知数列{a_n}不是等比数列．
（Ⅲ）把λ=1代入数列递推式，求得a_n，猜想出2ⁿ＞n²-n+2，然后利用数学归纳法，分别看n≥4和n=k+1时结论成立．
点评：本题主要考查了数列的递推式．考查了学生分析问题和解决问题的能力．