Question

f（x）=1g（a^x-b^x）（a＞1＞b＞0）
（1）求f（x）的定义域；
（2）问是否存在实数a、b，当x∈（1，∞）时，f（x）的值域为（0，+∞），且 f（2）=1g2？若存在，求出a、b的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由a^x-b^x＞0，（a＞1＞b＞0）得 ＞0，由此求得f（x）的定义域．
（2）令g（x）=a^x-b^x，可得 x∈（1，+∞）时，g（x）＞1．由g（1）=1，可得a-b=1 ①，又f（2）=lg2，故 a²-b²=2 ②，由①②求得a、b的值．
解答：解：（1）由a^x-b^x＞0，（a＞1＞b＞0）得 ＞0，∴x＞0．
∴f（x）的定义域为（0，+∞）．
（2）令g（x）=a^x-b^x，又 a＞1＞b＞0，∴g（x）在 （0，+∞）上为增函数．
当x∈（1，+∞）时，f（x）的值取到一切正数等价于x∈（1，+∞）时，g（x）＞1，
∴g（1）=1，可得a-b=1 ①，又f（2）=lg2，故 a²-b²=2 ②，
由①②得 a=，b=．
点评：本题主要考查对数函数的定义域，复合函数的单调性规律，对数函数的图象和性质的综合应用，属于中档题．