【题目】在某批次的某种灯泡中,随机地抽取个样品,并对其寿命进行追踪调查,将结果列成频率分布表如下.根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级,其中寿命大于或等于天的灯泡是优等品,寿命小于天的灯泡是次品,其余的灯泡是正品.
寿命(天) | 频数 | 频率 |
合计 |
(Ⅰ)根据频率分布表中的数据,写出, 的值.
(Ⅱ)某人从灯泡样品中随机地购买了个,求个灯泡中恰有一个是优等品的概率.
(Ⅲ)某人从这个批次的灯泡中随机地购买了个进行使用,若以上述频率作为概率,用表示此人所购买的灯泡中次品的个数,求的分布列和数学期望.
【答案】(Ⅰ), .(Ⅱ).(Ⅲ)见解析.
【解析】试题分析:(1)根据频数之和为100以及频率之和为1分别求出, 的值;(2)先确定抽取一个优等品的概率为,故个灯泡中恰有个是优等品的概率是.
(3)先确定随机变量的可能取值为, , , ,,根据题中条件确定在不同取值下的概率,并列出相应的分布列,求出数学期望.
试题解析:(Ⅰ)由频率分布表的数据可知: , .
(Ⅱ)由表中数据可知,从灯泡样品中随机抽取一个优等品的概率为,
故个灯泡中恰有个是优等品的概率是.
(Ⅲ)的所有取值为, , , ,
由题意,够买一个灯泡,且这个灯泡是次品的概率为,从这次批次灯泡中购买个,可看成次独立重复试验,
所以: ,
,
,
.
所以随机变量的分布列为:
.
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【题目】如图,飞镖的标靶呈圆盘形,圆盘被10等分,按如图所示染色为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分,某人依次将若干支飞镖投向标靶,如果每次投射都是相互独立的.
(1)如果他投向标靶的飞镖恰有2支且都击中标靶,同时每支飞镖击中标靶的任意位置都是等可能的,求“第Ⅰ部分被击中2次或第Ⅱ部分被击中2次”的概率;
(2)如果他投向标靶的飞镖恰有4支,且他投射1支飞镖,击中标靶的概率为,设表示标靶被击中的次数,求的分布列和数学期望.
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【题目】已知函数, ,其中为自然对数的底数.
(Ⅰ)讨论函数的单调性.
(Ⅱ)试判断曲线与是否存在公共点并且在公共点处有公切线.若存在,求出公切线的方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知圆C:x2+(y-a)2=4,点A(1,0).
(1)当过点A的圆C的切线存在时,求实数a的取值范围;
(2)设AM、AN为圆C的两条切线,M、N为切点,当MN=时,求MN所在直线的方程.
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【题目】如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=1,AB=AD=2,E、F分别是AB、BC的中点,证明A1、C1、F、E四点共面,并求直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小.
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【题目】设O为坐标原点,动点M在椭圆C上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)设点在直线上,且.证明:过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F.
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【题目】如图,在四棱锥中, 是等边三角形, 为的中点,四边形为直角梯形, .
(1)求证:平面平面;
(2)求四棱锥的体积;
(3)在棱上是否存在点,使得平面?说明理由.
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