【题目】设函数,已知它们在处的切线互相平行.
(1)求的值;
(2)若函数,且方程有且仅有四个解,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】试题分析: 由和在处的切线互相平行可以得到,解方程即可求得的值;
分别求出和的极值,结合单调性画出的图象,结合图象可得若方程有四个解,则,解不等式求得实数的取值范围
解析:函数g(x)=bx2-ln x的定义域为(0,+∞),
(1)f′(x)=3ax2-3af′(1)=0,
g′(x)=2bx-g′(1)=2b-1,
依题意得2b-1=0,所以b=.
(2)x∈(0,1)时,g′(x)=x-<0,
即g(x)在(0,1)上单调递减,
x∈(1,+∞)时,g′(x)=x->0,即g(x)在(1,+∞)上单调递增,所以当x=1时,g(x)取得极小值g(1)=;
当a=0时,方程F(x)=a2不可能有四个解;
当a<0,x∈(-∞,-1)时,f′(x)<0,即f(x)在(-∞,-1)上单调递减,x∈(-1,0)时,f′(x)>0,
即f(x)在(-1,0)上单调递增,
所以当
又f(0)=0,所以F(x)的图象如图(1)所示,从图象可以看出F(x)=a2不可能有四个解.
当a>0,x∈(-∞,-1)时,f′(x)>0,
即f(x)在(-∞,-1)上单调递增,
x∈(-1,0)时,f′(x)<0,
即f(x)在(-1,0)上单调递减,
所以当x=-1时,f(x)取得极大值f(-1)=2a.
又f(0)=0,所以F(x)的图象如图(2)所求,
从图(2)看出,若方程F(x)=a2有四个解,则<a2<2a,
得<a<2,
所以,实数a的取值范围是.
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【题目】已知椭圆: (为参数),是上的动点,且满足(为坐标原点),以原点为极点,以轴的正半轴为极轴建立极坐标系,点的极坐标为
(1)求线段的中点的轨迹的普通方程;
(2)证明:为定值,并求面积的最大值。
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【题目】在人群流量较大的街道,有一中年人吆喝“送钱”,只见他手拿一黑色小布袋,袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球(其体积、质地完成相同),旁边立着一块小黑板写道:
摸球方法:从袋中随机摸出3个球,若摸得同一颜色的3个球,摊主送给摸球者5元钱;若摸得非同一颜色的3个球,摸球者付给摊主1元钱.
(1)摸出的3个球为白球的概率是多少?
(2)摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少?
(3)假定一天中有100人次摸奖,试从概率的角度估算一下这个摊主一个月(按30天计)能赚多少钱?
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【题目】已知函数的定义域为,部分对应值如下表,的导函数的图象如图所示,给出关于的下列命题:
①函数在处取得极小值;
②函数在是减函数,在是增函数;
③当时,函数有4个零点;
④如果当时,的最大值是2,那么的最小值为0.
其中所有的正确命题是__________(写出正确命题的序号).
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【题目】甲、乙两台机床同时生产一种零件,在天中,两台机床每天生产的次品数分别为:
甲:;乙:.
(1)分别求两组数据的众数、中位数;
(2)根据两组数据平均数和标准差的计算结果比较两台机床性能.
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【题目】某大学志愿者协会有名同学,成员构成如下表,其中表中部分数据不清楚,只知道从这名同学中随机抽取一位,抽到该名同学为“数学专业”的概率为.
性别 专业 | 中文 | 英语 | 数学 | 体育 |
男 | ||||
女 |
现从这名同学中随机抽取名同学参加社会公益活动(每位同学被选到的可能性相同).
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求选出的名同学恰为专业互不相同的男生的概率
(Ⅲ)设为选出的名同学中“女生或数学专业”的学生的人数,求随机变量的分布列及其数学期望.
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【题目】以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立坐标系,两个坐标系取相同的单位长度.已知直线的参数方程为,曲线的极坐标方程为
(1)求曲线的直角坐标方程
(2)设直线与曲线相交于两点,时,求的值.
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