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【题目】设函数,已知它们在处的切线互相平行.

(1)求的值;

(2)若函数,且方程有且仅有四个解,求实数的取值范围.

【答案】(1);(2).

【解析】试题分析: 处的切线互相平行可以得到,解方程即可求得的值;

分别求出的极值,结合单调性画出的图象,结合图象可得若方程有四个解,则,解不等式求得实数的取值范围

解析:函数g(x)=bx2-ln x的定义域为(0,+∞),

(1)f′(x)=3ax2-3af′(1)=0,

g′(x)=2bxg′(1)=2b-1,

依题意得2b-1=0,所以b.

(2)x∈(0,1)时,g′(x)=x<0,

g(x)在(0,1)上单调递减,

x∈(1,+∞)时,g′(x)=x>0,即g(x)在(1,+∞)上单调递增,所以当x=1时,g(x)取得极小值g(1)=

a=0时,方程F(x)=a2不可能有四个解;

a<0,x∈(-∞,-1)时,f′(x)<0,即f(x)在(-∞,-1)上单调递减,x∈(-1,0)时,f′(x)>0,

f(x)在(-1,0)上单调递增,

所以当x=-1时,f(x)取得极小值f(-1)=2a

f(0)=0,所以F(x)的图象如图(1)所示,从图象可以看出F(x)=a2不可能有四个解.

a>0,x∈(-∞,-1)时,f′(x)>0,

f(x)在(-∞,-1)上单调递增,

x∈(-1,0)时,f′(x)<0,

f(x)在(-1,0)上单调递减,

所以当x=-1时,f(x)取得极大值f(-1)=2a.

f(0)=0,所以F(x)的图象如图(2)所求,

从图(2)看出,若方程F(x)=a2有四个解,则a2<2a

a<2,

所以,实数a的取值范围是.

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