Question

3．在二项式（ax+1）⁷（a∈R）的展开式中，x³的系数为21，则$\underset{lim}{n→∞}$（a³+a⁶+…+a³ⁿ的值是$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x³的系数，再根据x³项的系数为21，求得实数a³的值，进而可求极限．

解答 解：由于（ax+1）⁷展开式的通项公式为T_r+1=${C}_{7}^{r}$•a^7-r•x^7-r，
令7-r=3，解得r=4，故（ax+1）⁷展开式中x³的系数为${C}_{7}^{4}$•a³=21，
解得a³=$\frac{3}{5}$，
∴$\underset{lim}{n→∞}$（a³+a⁶+…+a³ⁿ）=$\frac{\frac{3}{5}}{1-\frac{3}{5}}$=$\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．