Question

17．函数y=$\frac{cosθ}{2+sinθ}$（θ∈R）的值域为[-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]．

Answer 1

分析 将式子变形为ysinx-cosx=-2y，利用辅助角公式得出sin（x-φ）=$\frac{-2y}{\sqrt{{y}^{2}+1}}$．根据正弦函数的值域列出不等式解出y的范围．

解答 解：∵y=$\frac{cosθ}{2+sinθ}$，∴ysinx-cosx=-2y，
∴$\sqrt{{y}^{2}+1}$sin（x-φ）=-2y，
∴sin（x-φ）=$\frac{-2y}{\sqrt{{y}^{2}+1}}$．
∴-1≤$\frac{-2y}{\sqrt{{y}^{2}+1}}$≤1．
即$\frac{4{y}^{2}}{{y}^{2}+1}$≤1，
解得-$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤y≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案为[-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的性质，属于中档题．