Question

如图所示，已知⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，过点A作⊙O₁的切线交⊙O₂于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O₁、⊙O₂于点D、E，DE与AC相交于点P．
（I）求证：AD∥EC；
（II）若AD是⊙O₂的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．

Answer 1

【答案】分析：（I）连接AB，根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角得到∠BAC=∠D，又根据同弧所对的圆周角相等得到∠BAC=∠E，等量代换得到∠D=∠E，根据内错角相等得到两直线平行即可；
（II）根据切割线定理得到PA²=PB•PD，求出PB的长，然后再根据相交弦定理得PA•PC=BP•PE，求出PE，再根据切割线定理得AD²=DB•DE=DB•（PB+PE），代入求出即可．
解答：解：（I）证明：连接AB，
∵AC是⊙O₁的切线，
∴∠BAC=∠D，
又∵∠BAC=∠E，
∴∠D=∠E，
∴AD∥EC．
（II）∵PA是⊙O₁的切线，PD是⊙O₁的割线，
∴PA²=PB•PD，
∴6²=PB•（PB+9）
∴PB=3，
在⊙O₂中由相交弦定理，得PA•PC=BP•PE，
∴PE=4，
∵AD是⊙O₂的切线，DE是⊙O₂的割线，
∴AD²=DB•DE=9×16，
∴AD=12
点评：此题是一道综合题，要求学生灵活运用直线与圆相切和相交时的性质解决实际问题．本题的突破点是辅助线的连接．