Question

如图所示，⊙O₁与⊙O₂相交于A，B两点，过点A作⊙O₁的切线交⊙O₂于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O₁，⊙O₂于点D，E，DE与AC相交于点P．
(Ⅰ)求证：AD∥EC；
(Ⅱ)若AD是⊙O₂的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长。

Answer 1

(Ⅰ)证明：连接AB，
∵AC是圆O₁的切线，
∴∠BAC=∠D，
又∵∠BAC=∠E，
∴∠D=∠E，∴AD∥EC。
(Ⅱ)解法一：∵PA是圆O₁的切线，PD是圆O₁割线，
∴PA²=PB·PD，∴6²=PB·(PB+9)，
∴PB=3，
又圆O₂中由相交弦定理，得PA·PC=BP·PE，∴PE=4， 
∵AD是圆O₂的切线，DE是圆O₂的割线，
∴AD²=DB·DE=9×16，
∴AD= 12。
解法二：设BP=x，PE=y，
∵PA=6，PC=2，
∴由相交弦定理得PA·PC=BP·PE，xy=12，①
∵AD∥EC，
∴，∴，②
由①②可得或（舍去），
∴DE=9+x+y=16，
∵AD是圆O₂的切线，DE是圆O₂的割线，
∴AD²=DB·DE=9×16，
∴AD=12。