分析:(I)利用
x=是函数
f(x)=an-1x3-3[(t+1)an-an+1]x+1(n≥2)的一个极值点求出a
n与a
n+1的关系式,从而加以证明;
(II)解决关键在于运用等比数列的求和公式,再利用函数的单调性得出n的最小值.
(III)先将
拆项并求和,通过观察与分析得出指数函数g(x)的表达式.
解答:解:(Ⅰ)
f′(x)=3an-1x2-3[(t+1)an-an+1](n≥2).
由题意
f′()=0,即
3an-1()2-3[(t+1)an-an+1](n≥2),
∴a
n+1-a
n=t(a
n-a
n-1)(n≥2),
∵t>0且t≠1,∴数列{a
n+1-a
n}是以t
2-t为首项,t为公比的等比数列,
∴a
n+1-a
n=(t
2-t)t
n-1=(t-1)t
n
∴a
2-a
1=(t-1)t
a
3-a
2=(t-1)t
2
…
a
n-a
n-1=(t-1)t
n-1以上各式两边分别相加得
an-a1=(t-1)(t+t2+…tn-1),∴
an=tn(n≥2),
当n=1时,上式也成立,∴
an=tn(Ⅱ)当t=2时,
bn==2-∴S
n=2n-(1+
+
+…+
)=
2n-2(1-)=2n-2+2•.
由S
n>2008,得
2n-2+2()n>2008,
n+()n>1005,
当n≤1004时,n+
()n<1005,
当n≥1005时,n+
()n>1005,
因此n的最小值为1005.
(Ⅲ)∵
==-∴
n |
|
k=1 |
=
(-)+(-)+…+(-)=
-< 点评:本题主要考查了函数在某点取得极值的条件,以及数列与函数和不等式的综合应用,同时考查了计算能力,属于中档题.