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已知数列{an}中,a1=t,a2=t2(t>0且t≠1).若x=
t
是函数f(x)=an-1x3-3[(t+1)an-an+1]x+1(n≥2)的一个极值点.
(Ⅰ)证明数列{an+1-an}是等比数列,并求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)记bn=2(1-
1
an
)
,当t=2时,数列{bn}的前n项和为Sn,求使Sn>2008的n的最小值;
(Ⅲ)当t=2时,求证:对于任意的正整数n,有 
n
k=1
2k
(ak+1)(ak+1+1)
1
3
分析:(I)利用x=
t
是函数f(x)=an-1x3-3[(t+1)an-an+1]x+1(n≥2)的一个极值点求出an与an+1的关系式,从而加以证明;
(II)解决关键在于运用等比数列的求和公式,再利用函数的单调性得出n的最小值.
(III)先将
1
(ak+1)(ak+1+1)
拆项并求和,通过观察与分析得出指数函数g(x)的表达式.
解答:解:(Ⅰ)f′(x)=3an-1x2-3[(t+1)an-an+1](n≥2)
由题意f′(
t
)=0
,即3an-1(
t
)2-3[(t+1)an-an+1](n≥2)

∴an+1-an=t(an-an-1)(n≥2),
∵t>0且t≠1,∴数列{an+1-an}是以t2-t为首项,t为公比的等比数列,
∴an+1-an=(t2-t)tn-1=(t-1)tn
∴a2-a1=(t-1)t
a3-a2=(t-1)t2

an-an-1=(t-1)tn-1
以上各式两边分别相加得an-a1=(t-1)(t+t2+…tn-1),∴an=tn(n≥2)
当n=1时,上式也成立,∴an=tn
(Ⅱ)当t=2时,bn=
2(2n-1)
2n
=2-
1
2n-1

∴Sn=2n-(1+
1
2
+
1
22
+…+
1
2n-1
)=2n-2(1-
1
2n
)=2n-2+2•
1
2n

由Sn>2008,得2n-2+2(
1
2
)n>2008
n+(
1
2
)n>1005

当n≤1004时,n+(
1
2
)
n
<1005,
当n≥1005时,n+(
1
2
)
n
>1005,
因此n的最小值为1005.
(Ⅲ)∵
2k
(ak+1)(ak+1+1)
=
2k
(2k+1)(2k+1+1)
=
1
2k+1
-
1
2k+1+1

n
k=1
2k
(ak+1)(ak+1+1)

=(
1
2+1
-
1
22+1
)+(
1
22+1
-
1
23+1
)+…+(
1
2n+1
-
1
2n+1+1
)
=
1
3
-
1
2n+1+1
1
3
点评:本题主要考查了函数在某点取得极值的条件,以及数列与函数和不等式的综合应用,同时考查了计算能力,属于中档题.
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知数列{an}中,a1=1,an+1-an=
1
3n+1
(n∈N*)
,则
lim
n→∞
an
=
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知数列{an}中,a1=1,an+1=
an
1+2an
,则{an}的通项公式an=
1
2n-1
1
2n-1

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知数列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+…+nan=
n+1
2
an+1(n∈N*)

(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{
2n
an
}
的前n项和Tn

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知数列{an}中,a1=
1
2
Sn
为数列的前n项和,且Sn
1
an
的一个等比中项为n(n∈N*
),则
lim
n→∞
Sn
=
1
1

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知数列{an}中,a1=1,2nan+1=(n+1)an,则数列{an}的通项公式为(  )
A、
n
2n
B、
n
2n-1
C、
n
2n-1
D、
n+1
2n

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