【题目】已知椭圆:的左、右焦点分别为,,过原点且斜率为1的直线交椭圆于两点,四边形的周长与面积分别为12与.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)直线与圆相切,且与椭圆交于两点,求原点到的中垂线的最大距离.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)不妨设点是第一象限的点,由四边形的周长求出,面积求出与关系,再由点在直线上,得到与关系,代入椭圆方程,求解即可;
(2)先求出直线斜率不存在时,原点到的中垂线的距离,斜率为0时与椭圆只有一个交点,直线斜率存在时,设其方程为,利用与圆相切,求出关系,直线方程与椭圆方程联立,求出中点坐标,得到的中垂线方程,进而求出原点到中垂线的距离表达式,结合关系,即可求出结论.
(1)不妨设点是第一象限的点,
因为四边形的周长为12,所以,,
因为,所以,
得,点为过原点且斜率为1的直线与椭圆的交点,
即点在直线上,点在椭圆上,
所以,即,
解得或(舍),
所以椭圆的标准方程为.
(2)当直线的斜率不存在时,直线为,
线段的中垂线为轴,原点到轴的距离为0.
当直线的斜率存在时,设斜率为,依题意可设,
因为直线与圆相切,所以,
设,,联立,
得,
由,得,又因为,所以,
所以,
所以的中点坐标为,
所以的中垂线方程为,
化简,得,
原点到直线中垂线的距离,
当且仅当,即时,等号成立,
所以原点到的中垂线的最大距离为.
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【题目】下列各对事件中,不是相互独立事件的有( )
A.运动员甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”
B.甲乙两运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环”
C.甲乙两运动员各射击一次,“甲乙都射中目标”与“甲乙都没有射中目标”
D.甲乙两运动员各射击一次,“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标”
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【题目】设椭圆()的离心率为,圆与轴正半轴交于点,圆在点处的切线被椭圆截得的弦长为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设圆上任意一点处的切线交椭圆于点,试判断是否为定值?若为定值,求出该定值;若不是定值,请说明理由.
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【题目】如图所示,A,B分别是椭圆C:=1(a>b>0)的左右顶点,F为其右焦点,2是|AF|与|FB|的等差中项,是|AF|与|FB|的等比中项.点P是椭圆C上异于A,B的任一动点,过点A作直线l⊥x轴.以线段AF为直径的圆交直线AP于点A,M,连接FM交直线l于点Q.
(1)求椭圆C的方程;
(2)试问在x轴上是否存在一个定点N,使得直线PQ必过该定点N?若存在,求出点N的坐标,若不存在,说明理由.
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【题目】已知椭圆,、为椭圆的左、右焦点,为椭圆上一点,且.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设直线,过点的直线交椭圆于、两点,线段的垂直平分线分别交直线、直线于、两点,当最小时,求直线的方程.
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【题目】随着科学技术的飞速发展,网络也已经逐渐融入了人们的日常生活,网购作为一种新的消费方式,因其具有快捷、商品种类齐全、性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数,得到如下的相关数据(其中“x=1”表示2015年,“x=2”表示2016年,依次类推;y表示人数):
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
y(万人) | 20 | 50 | 100 | 150 | 180 |
(1)试根据表中的数据,求出y关于x的线性回归方程,并预测到哪一年该公司的网购人数能超过300万人;
(2)该公司为了吸引网购者,特别推出“玩网络游戏,送免费购物券”活动,网购者可根据抛掷骰子的结果,操控微型遥控车在方格图上行进. 若遥控车最终停在“胜利大本营”,则网购者可获得免费购物券500元;若遥控车最终停在“失败大本营”,则网购者可获得免费购物券200元. 已知骰子出现奇数与偶数的概率都是,方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格。遥控车开始在第0格,网购者每抛掷一次骰子,遥控车向前移动一次.若掷出奇数,遥控车向前移动一格(从到)若掷出偶数遥控车向前移动两格(从到),直到遥控车移到第19格胜利大本营)或第20格(失败大本营)时,游戏结束。设遥控车移到第格的概率为,试证明是等比数列,并求网购者参与游戏一次获得免费购物券金额的期望值.
附:在线性回归方程中,.
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【题目】如下面左图,在直角梯形中,,,,,,点在上,且,将沿折起,得到四棱锥(如下面右图).
(1)求四棱锥的体积的最大值;
(2)在线段上是否存在点,使得平面?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】半正多面体(semiregular solid)亦称“阿基米德多面体”,如图所示,是由边数不全相同的正多边形为面的多面体,体现了数学的对称美.将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥,如此共可截去八个三棱锥,得到一个有十四个面的半正多面体,它们的边长都相等,其中八个为正三角形,六个为正方形,称这样的半正多面体为二十四等边体.若二十四等边体的棱长为,则该二十四等边体外接球的表面积为( )
A.B.C.D.
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