Question

给出下列四个命题：
①命题p：?x∈R，sinx≤1，则?p：?x∈R，sinx＜1．
②当a≥1时，不等式|x-4|+|x-3|＜a的解集为非空．
③当x＞0时，有lnx+

1

lnx

≥2．
④设复数z满足（1-i）z=2i，则z=1-i．
其中真命题的个数是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：根据全称命题的否定是特称命题，是条件不变，否定结论，来判断①是否正确；
举例判断②是否正确；
利用基本不等式求最值，来验证③是否正确；
④根据所给的等式两边同时除以1-i，得到z的表示式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，得到结果．

解答：解：对①，￢P：：?x∈R，sinx＞1，故①为假命题；
对②，当a=1时，∵|x-4|+|x-3|≥|（x-4）-（x-3）|=1，∴不等式|x-4|+|x-3|＜1的解集为空集，故②为假命题；
对③，∵x＞1，∴lnx＞0，∴lnx+

1

lnx

≥2，当 lnx=1即x=10时取等号，故③是假命题；
对④，∵复数z满足z（1-i）=2i，
∴z=

2i

1-i

=

2i(1+i)

(1-i)(1+i)

=-1+i，故④为假命题．
故答案为：A

点评：本题借助考查命题的真假判断，考查了全称命题的否定、绝对值不等式、幂函数与指数函数的性质．利用基本不等式求最值时，要注意：一“正”；二“定”；三“相等”．