Question

已知函数f（x）=|x+1|+|x-1|（x∈R）． 
（1）利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数，然后在给定的坐标系中画出函数图象（不需列表）；
（2）若函数f（x）在区间[a-1，2]上单调递增，试确定a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由绝对值的定义，在不同的范围内去绝对值，得当x＜-1时，函数表达式为y=-2x；当-1≤x≤1时，函数表达式为y=2；当x＞1时，函数表达式为y=2x．由此不难将函数化成分段函数的表示形式，并可作出它的图象．
（2）根据（1）的表达式，可得区间[a-1，2]是[1，+∞）的子集，由此建立不等式并解之，即可得到a的取值范围．

解答：解：（1）根据绝对值的定义，化简函数为
f（x）=|x+1|+|x-1|=

-x-1+1-x    (x＜-1) x+1+1-x     (-1≤x≤1) x+1+x-1     (x＞1)

=

-2x        (x＜1) 2            (-1≤x≤1)     2x         (x＞1)

当x＜-1时，函数图象是直线y=-2x的一部分；当-1≤x≤1时，函数图象是直线y=2的一部分；
当x＞1时，函数图象是直线y=2x的一部分
由此可得函数的图象如下图

（2）由（1）得，函数的增区间为[1，+∞）
∵f（x）在区间[a-1，2]上单调递增，
∴1≤a-1＜2，解之得2≤a＜3
因此，实数a的取值范围为[2，3）

点评：本题给出含有绝对值的函数，要求我们将其化成分段函数的表达式形式，并讨论它的单调区间，着重考查了绝对值的意义和函数的单调性等知识，属于基础题．