Question

【题目】如果存在常数a，使得数列{an}满足：若x是数列{an}中的一项，则a﹣x也是数列{an}中的一项，称数列{an}为“兑换数列”，常数a是它的“兑换系数”．
（1）若数列：2，3，6，m（m＞6）是“兑换系数”为a的“兑换数列”，求m和a的值；
（2）已知有穷等差数列{bn}的项数是n0（n0≥3），所有项之和是B，求证：数列{bn}是“兑换数列”，并用n0和B表示它的“兑换系数”；
（3）对于一个不少于3项，且各项皆为正整数的递增数列{cn}，是否有可能它既是等比数列，又是“兑换数列”？给出你的结论，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为2，3，6，m（m＞6）是“兑换系数”为a的“兑换数列”

所以a﹣m，a﹣6，a﹣3，a﹣2也是该数列的项，且a﹣m＜a﹣6＜a﹣3＜a﹣2，

故a﹣m=2，a﹣6=3，即a=9，m=7

（2）证明：设数列{bn}的公差为d，

因为数列{bn}是项数为n0项的有穷等差数列

若b1≤b2≤b3≤…≤b ，则a﹣b1≥a﹣b2≥a﹣b3≥…≥a﹣b ，

即对数列{bn}中的任意一项bi（1≤i≤n0），a﹣bi=b1+（n0﹣i）d=b +1﹣i∈{bn}

同理可得：b1≥b2≥b3≥…≥b ，a﹣bi=b1+（n0﹣i）d=b +1﹣i∈{bn}也成立，

由“兑换数列”的定义可知，数列{bn}是“兑换数列”；

又因为数列{bn}所有项之和是B，所以B= = ，即a=

（3）解：假设存在这样的等比数列{cn}，设它的公比为q（q＞1），

因为数列{cn}为递增数列，所以c1＜c2＜c3＜…＜cn，则a﹣c1＞a﹣c2＞a﹣c3＞…＞a﹣cn，

又因为数列{cn}为“兑换数列”，则a﹣ci∈{cn}，所以a﹣ci是正整数

故数列{cn}必为有穷数列，不妨设项数为n项，则ci+cn+1﹣i=a（1≤i≤n）

①若n=3，则有c1+c3=a，c2= ，又c22=c1c3，由此得q=1，与q＞1矛盾

②若n≥4，由c1+cn=c2+cn﹣1，得c1﹣c1q+c1qn﹣1﹣c1qn﹣2=0

即（q﹣1）（1﹣qn﹣2）=0，故q=1，与q＞1矛盾；

综合①②得，不存在满足条件的数列{cn}

【解析】（1）根据数列：2，3，6，m（m＞6）是“兑换系数”为a的“兑换数列”所以a﹣m，a﹣6，a﹣3，a﹣2也是该数列的项，且a﹣m＜a﹣6＜a﹣3＜a﹣2，由此可求m和a的值；（2）由“兑换数列”的定义证明数列{bn}是“兑换数列”，即证对数列{bn}中的任意一项bi（1≤i≤n0），a﹣bi=b1+（n0﹣i）d=bn0+1﹣i∈{bn}，从而可求数列{bn}所有项之和；（3）假设存在这样的等比数列{cn}，设它的公比为q（q＞1），可知数列{cn}必为有穷数列，不妨设项数为n项，则ci+cn+1﹣i=a（1≤i≤n），再分类讨论，即可得到结论．