Question

8．已知$\left\{\begin{array}{l}{sinα+sinβ=\frac{1}{2}}\\{y=co{s}^{2}α-sinβ}\end{array}\right.$，求值域．

Answer 1

分析 利用已知条件，化简所求表达式只有一个角的三角函数的形式，通过三角函数以及二次函数的性质求解表达式的最值即可．

解答 解：sinα+sinβ=$\frac{1}{2}$，则$y=co{s}^{2}α+sinα-\frac{1}{2}$=-sin²α+sinα+$\frac{1}{2}$=-（sinα-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$．
∵sinα+sinβ=$\frac{1}{2}$，∴sinα∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴sinα=$\frac{1}{2}$时，函数取得最大值：$\frac{3}{4}$．
sinα=-1时，函数取得最小值：-$\frac{3}{2}$．
函数的值域为[-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{4}$]．

点评 本题考查三角函数的最值的求法，涉及二次函数的性质的应用，考查计算能力．