Question

9．已知f（x）=x²-4x+4，f₁（x）=f（x），f₂（x）=f（f₁（x）），f_n（x）=f（f_n-1（x）），函数y=f_n（x）的零点个数记为a_n，则a_n=2^n-1．

Answer 1

分析 分别求出函数y=f₁（x）、y=f₂（x）、y=f₃（x）的零点个数，归纳得到函数y=f_n（x）的零点个数．

解答 解：f（x）=x²-4x+4=（x-2）²，f₁（x）=f（x），∴函数y=f₁（x）的零点个数a₁=1=2⁰；
f₂（x）=f（f₁（x））=[（x-2）²-2]²，由f₂（x）=0，得$x=2±\sqrt{2}$，∴y=f₂（x）的零点个数a₂=2=2¹；
f₃（x）=f（f₂（x））={[（x-2）²-2]²-2}²，由f₃（x）=0，得x=$±\sqrt{2-\sqrt{2}}$或x=$±\sqrt{2+\sqrt{2}}$，∴函数y=f₃（x）的零点个数a₃=4=2²；
由此归纳可得：${a}_{n}={2}^{n-1}$．
故答案为：2^n-1．

点评 本题考查函数零点个数的判定，考查了数列递推式，训练了归纳法求数列的通项公式，是基础题．