Question

12．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的上顶点为A，右焦点为F，椭圆C上存在点P使线段OP被直线AF平分，则椭圆C的离心率的取值范围是$（0，\frac{\sqrt{3}}{3}]$．

Answer 1

分析 设P（x₀，y₀），则线段OP的中点为M$（\frac{{x}_{0}}{2}，\frac{{y}_{0}}{2}）$．把点M的坐标代入直线AF的方程可得：$\frac{{x}_{0}}{2c}$+$\frac{{y}_{0}}{2b}$=1，与$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}$=1联立，利用△≥0，及其离心率计算公式即可得出．

解答 解：设P（x₀，y₀），则线段OP的中点为M$（\frac{{x}_{0}}{2}，\frac{{y}_{0}}{2}）$．
直线AF的方程为：$\frac{x}{c}+\frac{y}{b}$=1，
把点M的坐标代入可得：$\frac{{x}_{0}}{2c}$+$\frac{{y}_{0}}{2b}$=1，
与$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}$=1联立可得：$（{a}^{2}+{c}^{2}）{x}_{0}^{2}$-4a²cx₀+3a²c²=0，
△=16a⁴c²-12a²c²（a²+c²）≥0，
化为a²≥3c²，
解得$0＜e≤\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴椭圆C的离心率的取值范围是$（0，\frac{\sqrt{3}}{3}]$．
故答案为：$（0，\frac{\sqrt{3}}{3}]$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．