Question

已知f（x）是定义在实数集R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x²-4x+3，
（Ⅰ）求f[f（-1）]的值；  
（Ⅱ）求函数f（x）的解析式；  
（Ⅲ）求函数f（x）在区间[t，t+1]（t＞0）上的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得：f（-1）=-f（1），并且f（0）=0．由已知可得f（1）=0，所以f（-1）=0，进而得到答案．
（Ⅱ）设x＜0则-x＞0，所以f（-x）=x²+4x+3，结合函数的奇偶性可得：f（x）=-x²-4x-3，进而写出函数的解析式．
（Ⅲ）由题意可得：f（x）=x²-4x+3，x∈[t，t+1]，所以二次函数的对称轴为x=2，根据二次函数的性质讨论对称轴与区间的位置关系，进而得到答案．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得：f（x）是定义在实数集R上的奇函数，
所以f（-1）=-f（1），并且f（0）=0．
又因为当x＞0时，f（x）=x²-4x+3，
所以f（1）=0，
所以f（-1）=0．
所以f[f（-1）]=f（0）=0…4′
（Ⅱ）设x＜0则-x＞0，
因为当x＞0时，f（x）=x²-4x+3，
所以f（-x）=x²+4x+3，
又因为f（x）是定义在实数集R上的奇函数，
所以f（x）=-x²-4x-3．
所以f(x)=

x2-4x+3(x＞0) 0(x=0) -x2-4x-3(x＜0)

…4′
（Ⅲ）由题意可得：f（x）=x²-4x+3，x∈[t，t+1]，
所以二次函数的对称轴为x=2，
当t+1＜2，即0＜t≤1时，f（x）在[t，t+1]上单调递减，
所以f（x）_min=f（t+1）=t²-2t．
当t＞2时，f（x）在[t，t+1]上单调递增，
所以f（x）_min=f（t）=t²-4t+3．
当t≤2＜t+1时，即1＜t≤2时，f（x）在[t，t+1]上先减后增，
所以f（x）_min=f（2）=-1．
所以f(x)min=

t2-2t(0＜t≤1) -1(1＜t≤2) t2-4t+3(t＞2)

…6′

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握求函数解析式的方法，以及熟练掌握二次函数的有关性质，并且熟练利用其性质求函数的最值．