Question

12．已知S_n=|n-1|+2|n-2|+3|n-3|+…+10|n-10|，n∈N^*，则S_n的最小值为112．

Answer 1

分析 所求的式子共计55项，根据绝对值的意义，当n=7时，S_n最小，从而求得S_n的最小值．

解答 解：由于S_n=|n-1|+2|n-2|+3|n-3|+…+10|n-10|=|n-1|+（|n-2|+|n+2|）+（|n-3|+|n+3|+|n+3|）+（|n+10|+…+|n-10|），
共计55项的和，
根据绝对值的意义，当n从1到10取值时，n在中间取值时，S_n最小．
从|n-1|到最后一个|n-6|，共计21项，从|n-8|到|n-10|，共计27项，而|n-7|共计有7项，
故当n=7时，S_n最小为 6+2×5+3×4+4×3+5×2+6×1+0+8×1+9×2+10×3=112．

点评 本题主要考查绝对值的意义，绝对值三角不等式，属于中档题．