Question

如图：是y=f（x）=

a

3

x³-2x²+3a²x的导函数y=f′（x）的简图，它与x轴的交点是（1，0）和（3，0）
（1）求y=f（x）的极小值点和单调减区间
（2）求实数a的值．

Answer 1

分析：（1）先利用其导函数f'（x）图象，判断导函数值的正负来求其单调区间，进而求得其极值．（注意是在定义域内研究其单调性）
（2）由图知，f'（1）=0且f'（3）=0，代入导函数解析式得到关于a的方程，解出即可．

解答：解：（1）由f（x）=

a

3

x³-2x²+3a²x的导函数y=f'（x）的图象可知：导函数f'（x）小于0的解集是（1，3）；
函数f（x）=

a

3

x³-2x²+3a²x在x=1，x=3处取得极值，且在x=3的左侧导数为负右侧导数为正．
即函数在x=3处取得极小值，函数的单调减区间为（1，3）．
（2）由于f（x）=

a

3

x³-2x²+3a²x的导函数f'（x）=ax²-4x+3a²，又由（1）知，f'（1）=0且f'（3）=0
则

f′(1)=a-4+3a2=0 f′(3)=9a-12+3a2=0

解得 a=1．
则实数a的值为1．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的极值以及函数的单调性，利用导数研究函数的单调性，求解函数的单调区间、极值、最值问题，是函数这一章最基本的知识，也是教学中的重点和难点，学生应熟练掌握．