【题目】已知集合,其中
,由
中的元素构成两个相应的集合:
,
.
其中是有序数对,集合
和
中的元素个数分别为
和
.
若对于任意的,总有
,则称集合
具有性质
.
(Ⅰ)检验集合与
是否具有性质
并对其中具有性质
的集合,写出相应的集合
和
.
(Ⅱ)对任何具有性质的集合
,证明
.
(Ⅲ)判断和
的大小关系,并证明你的结论.
【答案】(Ⅰ)集合不具有性质
,集合
具有性质
,相应集合
,
,集合
,
(Ⅱ)见解析(Ⅲ)
【解析】解:集合不具有性质
.
集合具有性质
,其相应的集合
和
是
,
.
(II)证明:首先,由中元素构成的有序数对
共有
个.
因为,所以
;
又因为当时,
时,
,所以当
时,
.
从而,集合中元素的个数最多为
,
即.
(III)解: ,证明如下:
(1)对于,根据定义,
,
,且
,从而
.
如果与
是
的不同元素,那么
与
中至少有一个不成立,从而
与
中也至少有一个不成立.
故与
也是
的不同元素.
可见, 中元素的个数不多于
中元素的个数,即
,
(2)对于,根据定义,
,
,且
,从而
.如果
与
是
的不同元素,那么
与
中至少有一个不成立,从而
与
中也不至少有一个不成立,
故与
也是
的不同元素.
可见, 中元素的个数不多于
中元素的个数,即
,
由(1)(2)可知, .
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【题目】已知函数
,且满足
.
(1)判断函数在
上的单调性,并用定义证明;
(2)设函数,求
在区间
上的最大值;
(3)若存在实数m,使得关于x的方程恰有4个不同的正根,求实数m的取值范围.
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【题目】为了解学生身高情况,某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行抽样检查,测得身高情况的统计图如图所示:
(1)估计该校男生的人数;
(2)估计该校学生身高在170~185cm的概率;
(3)从样本中身高在180~190cm的男生中任选2人,求至少有1人身高在185~190cm的概率.
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【题目】设为集合
的子集,且
,若
,则称
为集合
的
元“大同集”.
(1)写出实数集的一个二元“大同集”;
(2)是否存在正整数集的二元“大同集”,请说明理由;
(3)求出正整数集的所有三元“大同集”.
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【题目】如图所示,定义域为上的函数
是由一条射线及抛物线的一部分组成.利用该图提供的信息解决下面几个问题.
(1)求的解析式;
(2)若关于的方程
有三个不同解,求
的取值范围;
(3)若,求
的取值集合.
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【题目】某企业准备推出一种花卉植物用于美化城市环境,为评估花卉的生长水平,现对该花卉植株的高度(单位:厘米)进行抽查,所得数据分组为,据此制作的频率分布直方图如图所示.
(1)求出直方图中的值;
(2)利用直方图估算花卉植株高度的中位数;
(3)若样本容量为32,现准备从高度在的植株中继续抽取2颗做进一步调查,求抽取植株来自同一组的概率.
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【题目】已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点,且长轴长为4.
求椭圆E的方程;
若A是椭圆E的左顶点,经过左焦点F的直线l与椭圆E交于C,D两点,求
与
为坐标原点
的面积之差绝对值的最大值.
已知椭圆E上点
处的切线方程为
,T为切点
若P是直线
上任意一点,从P向椭圆E作切线,切点分别为N,M,求证:直线MN恒过定点,并求出该定点的坐标.
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【题目】三角形的面积为,其中
,
,
为三角形的边长,
为三角形内切圆的半径,则利用类比推理,可得出四面体的体积为( )
A.
B.
C. ,(
为四面体的高)
D. ,(
,
,
,
分别为四面体的四个面的面积,
为四面体内切球的半径)
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