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已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.
(1)求点C1到平面AB1D1的距离;
(2)求平面CDD1C1与平面AB1D1所成的二面角(结果用反三角函数值表示).

解:(1)按如图所示建立空间直角坐标系,可得有关点的坐标为A(0,0,0)、D1(0,a,a)、B1(a,0,a)、C1(a,a,a)
,向量
是平面AB1D1的法向量,于是,有

令z=-1,得x=1,y=1.
于是平面AB1D1的一个法向量是.(5分)
因此,C1到平面AB1D1的距离(8分)
(2)由(1)知,平面AB1D1的一个法向量是.又因AD⊥平面CDD1C1,故平面CDD1C1的一个法向量是.(10分)
设所求二面角的平面角为θ,则.(13分)
所以,平面CDD1C1与平面AB1D1所成的二面角为.(14分)
分析:(1)以A为坐标原点,AB,AD,AA1方向分别为x,y,z轴正方向建立空间坐标系,求出平面AB1D1的法向量,则C1到平面AB1D1的距离,代入即可求出点C1到平面AB1D1的距离;
(2)求出平面CDD1C1的一个法向量,结合(1)中平面AB1D1的法向量,代入向量夹角公式,即可求出二面角的平面角的余弦值,进而得到平面CDD1C1与平面AB1D1所成的二面角的大小.
点评:本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角,点到平面的距离,其中(1)的关键是求出平面AB1D1的法向量,然后代入中求解,(2)的关键是求出平面CDD1C1的一个法向量和平面AB1D1的法向量,将二面角问题转化为向量夹角问题.
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