Question

在正方体AC₁中，E是CD的中点，连接AE并延长与BC的延长线交于点F，连接BE并延长交AD的延长线于点G，连接FG．
求证：直线FG?平面ABCD且直线FG∥直线A₁B₁．

Answer 1

分析：分别说明点F与点G在平面ABCD内，结合公理一直线上有两点在平面内则这条直线就在这个平面内，易证四边形CFGD是平行四边形，结合棱柱的结构特征，即可求出直线FG∥直线A₁B₁．

解答：证明：由已知得E是CD的中点，
在正方体中，有A∈平面ABCD，
E∈平面ABCD，
所以AE?平面ABCD．
又AE∩BC=F，所以F∈AE，
从而F∈平面ABCD．
同理，G∈平面ABCD，
所以FG?平面ABCD．
因为EC

∥

.

AB，故在Rt△FBA中，CF=BC，
同理，DG=AD．又在正方形ABCD中，BC

∥

.

AD，
所以CF

∥

.

DG．
所以四边形CFGD是平行四边形．
所以FG∥CD．又CD∥AB，AB∥A₁B₁，
所以直线FG∥直线A₁B₁．

点评：本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，以及棱柱的结构特征，属于基础题．