Question

已知几何体E-ABCD如图所示，其中四边形ABCD为矩形，△ABE为等边三角形，且AD=

3

，AE=2，DE=

7

，点F为棱BE上的动点．
（1）若DE∥平面AFC，试确定点F的位置；
（2）在（1）的条件下，求二面角E-DC-F的余弦值．

Answer 1

分析：（1）连接BD交AC于点M，若DE∥平面AFC，则DE∥FM，点M为BD中点，则F为棱BE的中点即可确定点F的位置；
（2）解法一（向量法）：由（1）可得F为棱BE的中点，以AB中点O为坐标原点，以OE为x轴，以OB为y轴，以OM为z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面DCE的法向量和平面DCF的法向量，代入向量夹角公式可得答案．
解法二（几何法）：取AB中点O，CD中点N，可得∠ONE就是二面角E-DC-A的平面角，进而可求出该角的正切值，同理可求出二面角F-DC-A的平面角β的正切值，若二面角E-DC-F为θ，则θ=α-β，利用两角差的正切公式及同角三角函数关系，可得答案．

解答：解：（1）连接BD交AC于点M，若DE∥平面AFC，
则DE∥FM，点M为BD中点，则F为棱BE的中点…（4分）
（2）AD=

3

，AE=2，DE=

7

，∴DA⊥AE．
又四边形ABCD为矩形，∴DA⊥面ABE．
解法一（向量法）：
以AB中点O为坐标原点，以OE为x轴，以OB为y轴，以OM为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
则

DE

=（

3

，1，-

3

），

CE

=（

3

，-1，-

3

），
设平面DCE的法向量n=（x，y，z），
∴

DE • n =0 CE • n =0

，即

3 x+y- 3 z=0 3 x-y- 3 z=0

令x=1，则n=（1，0，1）．

DF

=（

3

2

，

3

2

，-

3

），

CF

=（

3

2

，-

1

2

，-

3

）．
设平面DCF的法向量m=（x，y，z）．

DF • m =0 CF • m =0

，即

3 2 x+ 3 2 y- 3 z=0 3 2 x- 1 2 y- 3 z=0

令x=2，则m=（2，0，1）．
设二面角E-DC-F的平面角为θ，cosθ=

m•n

|m||n|

=

3 10

10

…（12分）
解法二（几何法）：
设二面角E-DC-A的平面角为α，
取AB中点O，CD中点N，
EO⊥平面ACD，ON⊥CD，
∴∠ONE就是二面角E-DC-A的平面角…（6分）
∴∠ONE=α，tanα=1…（8分）
同理设二面角F-DC-A的平面角为β，
tanβ=

1

2

…（10分）
设二面角E-DC-F为θ，θ=α-β，
∴tanθ=

1

3

，
∴cosθ=

3 10

10

…（12分）

点评：本题是中档题，考查空间几何二面角的求法，转化思想的应用，直线与平面平行的应用，考查空间想象能力．