Question

如图，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是A₁D₁的中点，Q是A₁B₁上的任意一点，E、F是CD上的任意两点，且EF的长为定值．现有如下结论：
①异面直线PQ与EF所成的角是定值；
②点P到平面QEF的距离是定值；
③直线PQ与平面PEF所成的角是定值；
④三棱锥P-QEF的体积是定值；
⑤二面角P-EF-Q的大小是定值．
其中正确结论的个数是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：①因为P是A₁D₁的中点，Q是A₁B₁上的任意一点，E、F是CD上的任意两点，所以异面直线PQ与EF所成的角不是定值；
②P和平面QEF都是定的，所以P到平面QEF的距离是定值；
③Q是动点，EF也是动点，推不出定值的结论，所以就不是定值；
④根据等底同高的三角形面积相等及①的结论结合棱锥的体积公式，可以判断三棱锥的体积固定；
⑤根据A₁B₁∥CD，Q为A₁B₁上任意一点，可得二面角P-EF-Q的大小为定值．

解答：解：①因为P是A₁D₁的中点，Q是A₁B₁上的任意一点，E、F是CD上的任意两点，所以异面直线PQ与EF所成的角不是定值，即①不正确；
②QEF平面也就是平面A₁B₁CD，既然P和平面QEF都是定的，所以P到平面QEF的距离是定值，即②正确；
③Q是动点，EF也是动点，推不出定值的结论，所以就不是定值，即③不正确；
④因为EF定长，Q到EF的距离就是Q到CD的距离也为定长，即底和高都是定值，根据1的结论P到QEF平面的距离也是定值，所以三棱锥的高也是定值，于是体积固定，即④正确；
⑤∵A₁B₁∥CD，Q为A₁B₁上任意一点，E、F为CD上任意两点，∴二面角P-EF-Q的大小为定值，即⑤正确．
故选D．

点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，二面角，棱锥的体积及点到平面的距离，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．