Question

（2011•宁德模拟）已知函数f（x）=2^|x|，若存在x∈R，使得不等式2f(x)+

1

f(x)

≤k成立，则实数k的最小值是（　　）

• A．3
• B．2

  2

• C．2
• D．

  2

Answer 1

分析：由题意知这是一个存在性的问题，须求出不等式左边的最小值，令k大于等于左边的最小值，即可解出实数k的最小值．

解答：解：设F（x）=2f(x)+

1

f(x)

，
由于F（-x）=F（x），
∴F（x）是偶函数，
当x≥0时，F（x）=2×2x+

1

2x

，
设x₁＞x₂≥0，则F（x₁）-F（x₂）=2×2x 1+

1

2x 1

-（2×2x 2+

1

2x 2

）
=（2x1-2x2）×

2×2x1×2x2-1

2x1•2x2

∵x₁＞x₂≥0，∴2x1＞2x2，2×2x1-2x2-1＞0，
∴F（x₁）-F（x₂）＞0，
∴F（x）在[0，+∞）上是增函数，当x=0时，F（x）取得最小值3．
又F（x）是偶函数，其图象关于y轴对称，
∴当x∈R时，F（x）取得最小值3．
∵存在实数x使得不等式2f(x)+

1

f(x)

≤k成立，
∴k≥3，则实数k的最小值是3
故选A．

点评：本题考查不等关系与不等式，求解本题的关键是正确理解题意，区分存在问题与恒成立问题的区别，本题是一个存在问题，故取k≥3，即k大于等于左边的最小值即满足题意，本题是一个易错题，主要错误就是出在把存在问题当成恒成立问题求解导致错误．