Question

已知函数f（x）=x³-3ax+b在x=1处有极小值2．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数在[0，2]只有一个零点，求m的取值范围．

Answer 1

解：（I）f'（x）=3x²-3a…（1分）
依题意有，…（3分）
解得，…（4分）
此时f'（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1），
x∈（-1，1），f'（x）＜0，x∈（1，+∞），f'（x）＞0，满足f（x）在x=1处取极小值
∴f（x）=x³-3x+4…（5分）
（Ⅱ）f'（x）=3x²-3
∴…（6分）
当m=0时，g（x）=-2x+3，
∴g（x）在[0，2]上有一个零点（符合），…（8分）
当m≠0时，
①若方程g（x）=0在[0，2]上有2个相等实根，即函数g（x）在[0，2]上有一个零点．
则，得…（10分）
②若g（x）有2个零点，1个在[0，2]内，另1个在[0，2]外，
则g（0）g（2）≤0，即（-m+3）（3m-1）≤0，解得，或m≥3…（12分）
经检验m=3有2个零点，不满足题意．
综上：m的取值范围是，或，或m＞3…（14分）
分析：（I）求导函数f'（x）=3x²-3a，利用函数f（x）=x³-3ax+b在x=1处有极小值2，可得，从而可求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ），再进行分类讨论：当m=0时，g（x）=-2x+3，g（x）在[0，2]上有一个零点；当m≠0时，①若方程g（x）=0在[0，2]上有2个相等实根，即函数g（x）在[0，2]上有一个零点；②若g（x）有2个零点，1个在[0，2]内，另1个在[0，2]外，从而可求m的取值范围．
点评：本题以函数的性质为载体，考查函数的解析式，考查导数知识的运用，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，综合性强．