Question

15．已知F₁、F₂是双曲线的两焦点，过F₂且垂直于实轴的直线交双曲线于P、Q两点，∠PF₁Q=60°，则离心率e=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据题意，△PQF₁是等腰直角三角形，且被F₁F₂分成两个全等的直角三角形．由此结合双曲线的定义，可解出a、c关系，即可得到该双曲线的离心率．

解答 解：设双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0），把x=c代入得$y=±\frac{{b}^{2}}{a}$，
∵∠PF₁Q=60°，∴2c=$\sqrt{3}•\frac{{b}^{2}}{a}$，即2ac=$\sqrt{3}$（c²-a²），解得e=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题给出双曲线方程，在已知过右焦点的通径和左焦点构成等边三角形的情况下求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．