如图.建立平面直角坐标系xOy.x轴在地平面上.y轴垂直于地平面.单位长度为1千米.某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程$y=kx-\frac{1}{20}$表示的曲线上.其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)当k=2时.求炮的射程,(2)求炮的最大射程,(3)设在第一象限有一飞行物.其飞行高度为3.2千米.试问它的横坐标a不超� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

15．

如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程$y=kx-\frac{1}{20}（1+{k^2}）{x^2}（k＞0）$表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
（1）当k=2时，求炮的射程；
（2）求炮的最大射程；
（3）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以其中它？请说明理由．

分析（1）通过k=2，化简函数解析式，利用二次函数求解射程．
（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解．
（3）炮弹可以击中目标等价于存在 k＞0，使ka-$\frac{1}{20}$（1+k²）a²≥3.2成立，转化为关于k的方程a²k²-20ak+a²+64=0有正根．利用判别式，求解即可．

解答解：（1）∵k=2，$y=kx-\frac{1}{20}（1+{k}^{2}）{x}^{2}（k＞0）$，可得：$y=2x-\frac{1}{4}{x}^{2}$，y=0，可得x=0，x=8．
炮的射程为：8千米．
（2）在 y=kx-$\frac{1}{20}$（1+k²）x²（k＞0）中，令y=0，得 kx-$\frac{1}{20}$（1+k²）x²=0．
由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0．
∴x=$\frac{20k}{1+{k}^{2}}$=$\frac{20}{\frac{1}{k}+k}$≤$\frac{20}{2}$=10，当且仅当k=1时取等号．
∴炮的最大射程是10千米．
（3）∵a＞0，∴炮弹可以击中目标等价于存在 k＞0，使ka-$\frac{1}{20}$（1+k²）a²≥3.2成立，
即关于k的方程a²k²-20ak+a²+64=0有正根．
由韦达定理满足两根之和大于0，两根之积大于0，
故只需△=400a²-4a²（a²+64）≥0，得a≤6．
此时，k=$\frac{20a±\sqrt{△}}{2{a}^{2}}$＞0．
∴当a不超过6时，炮弹可以击中目标．

点评本题主要是求函数的最值问题以及图象和x轴的交点坐标，函数模型的运用，基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

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A．

B．

C．

D．

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⑤各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体．
正确的命题序号为④．

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A．

$\frac{3}{10}$

B．

$\frac{2}{5}$

C．

$\frac{1}{2}$

D．

$\frac{3}{5}$

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