Question

7．函数y=$\frac{\sqrt{3}cosx}{2+sinx}$的最大值为1．

Answer 1

分析 已知式子变形可得$\sqrt{3+{y}^{2}}$cos（x+φ）=2y，其中tanφ=$\frac{y}{\sqrt{3}}$，可得y的不等式，解不等式可得．

解答 解：∵y=$\frac{\sqrt{3}cosx}{2+sinx}$，∴$\sqrt{3}$cosx=2y+ysinx，
∴$\sqrt{3}$cosx-ysinx=2y，
∴$\sqrt{3+{y}^{2}}$cos（x+φ）=2y，其中tanφ=$\frac{y}{\sqrt{3}}$，
由三角函数的值域可得|2y|≤$\sqrt{3+{y}^{2}}$，
解关于y的不等式可得-1≤y≤1，
∴函数y=$\frac{\sqrt{3}cosx}{2+sinx}$的最大值为：1
故答案为：1

点评 本题考查三角函数的最值，涉及和差角的三角函数公式和三角函数的有界性，属基础题．