Question

13．已知全集U=R，非空集合A={x|$\frac{x-2}{x-3a-1}$＜0}，B={x|$\frac{x-{a}^{2}-2}{x-a}$＜0}．
（Ⅰ）当a=$\frac{1}{2}$时，求（∁_UB）∩A；
（Ⅱ）条件p：x∈A，条件q：x∈B，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 先求出集合A、B，再求出C_UB，借助数轴求出，（C_UB）∩A．
（Ⅱ）由题意知，p⇒q，可知A⊆B，B={x|a＜x＜a²+2}．对于集合A，其解集的端点是 3a+1和2，大小有三种情况，在每种情况下，求出集合A，借助数轴列出A⊆B时区间端点间的大小关系，解不等式组求出a的范围

解答 解：（Ⅰ）当a=$\frac{1}{2}$时，
对于集合A：$\frac{x-2}{x-\frac{5}{2}}$＜0，即（x-2）（x-$\frac{5}{2}$）＜0，解得2＜x＜$\frac{5}{2}$，所以A=（2，$\frac{5}{2}$），
对于集合B，$\frac{x-\frac{9}{4}}{x-\frac{1}{2}}$＜0，解得，$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{9}{4}$，所以B=（$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{4}$），
所以C_UB=（-∞.$\frac{1}{2}$]∪[$\frac{9}{4}$，+∞），
所以（C_UB）∩A=[$\frac{9}{4}$，$\frac{5}{2}$）；
（Ⅱ）由q是p的必要条件，即p⇒q，可知A⊆B．
由a²+2＞a，得 B={x|a＜x＜a²+2}．
①当3a+1＞2，即a＞$\frac{1}{3}$时，A={x|2＜x＜3a+1}，再由$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{{a}^{2}+2≥3a+1}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{3}$＜a≤$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$．
②当3a+1=2，即a=$\frac{1}{3}$时，A=∅，不符合题意；
③当3a+1＜2，即a$＜\frac{1}{3}$时，A={x|3a+1＜x＜2}，再由$\left\{\begin{array}{l}{a≤3a+1}\\{{a}^{2}+2≥2}\end{array}\right.$，解得$-\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{1}{3}$；
综上所述a的取值范围为（$-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$）∪（$\frac{1}{3}$，$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$）．

点评 本题考查集合间的交、并、补运算方法以及A⊆B时2个区间端点之间的大小关系（借助数轴列出不等关系），体现了分类讨论的数学思想．