Question

已知函数满足,当时,,当时, 的最大值为-4．
(I)求实数的值；
(II)设，函数，．若对任意的,总存在,使,求实数的取值范围．

Answer 1

(I)； (II)

试题分析：(I) 因为函数满足,当，所以可得f(x)=2f(x+2)=4f(x+4)当x(-4,-2),则x+4(0,2)这样就可以f(x)=4f(x+4)=4ln(x+4)+4(x+4).所以通过求导可求出f(x)的导数，再根据的取值范围求出函数的单调区间即可求出最大值.从而解出的值.
(II)假设的值域为A，的值域为B，则由已知，对于任意的，使得，即函数f(x)值域的范围比函数g(x)值域的范围小即可.对于函数g(x)的单调性要考虑b的值.再根据，即可得结论.
试题解析：(I)由已知，得2f(x+2)=f(x),所以f(x)=2f(x+2)=4f(x+4).又因为x(0,2)时，f(x)=lnx+x.设x(-4,-2),则x+4(0,2).所以f(x+4)="ln(x+4)+" (x+4).所以x(-4,-2)时，f(x)=4f(x+4)=4ln(x+4)+4(x+4).所以.因为x(-4,-2).所以.因为.所以.又由可得.所以f(x)在上是增函数，在上是减函数.所以.所以.
（II）设的值域为A，的值域为B，则由已知，对于任意的，使得，． 
由（I）=-1，当时,,,
∵,∴，在上单调递减函数,
∴的值域为 A=
∵,
∴（1）当时，在上是减函数，此时，的值域为，
为满足，又∴即．  12分
（2）当时，在上是单调递增函数，此时，的值域为，为满足，又,∴,∴,
综上可知b的取值范围是．