Question

（本小题满分16分）
已知（，为此函数的定义域）同时满足下列两个条件：①函数
在内单调递增或单调递减；②如果存在区间，使函数在区间上的值域为，那么称，为闭函数。请解答以下问题：
（1）判断函数是否为闭函数？并说明理由；
（2）求证：函数（）为闭函数；
（3）若是闭函数，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）函数在定义域上不是单调递增或单调递减函数，从而该函数不是闭函数；
(2) 见解析；（3）．

试题分析：（1）因为函数在区间上单调递减，在上单调递增，不符合题意，不成立。
（2）利用高次函数来分析，利用单调性的定义分析和证明。
（3）易知是上的增函数，符合条件①；设函数符合条件②的区间
为，利用对应相等得到结论。
解：（1）函数在区间上单调递减，在上单调递增；---2分
所以，函数在定义域上不是单调递增或单调递减函数，从而该函数不是闭函数---4分
(2) 先证符合条件①：对于任意
且，有       
，      ，故是上的减函数．
又因为在上的值域是。                     ---------8分
（3）易知是上的增函数，符合条件①；设函数符合条件②的区间
为，则；故是的两个不等根，即方程组为：
有两个不等非负实根；         - -- --- ------11分
设为方程的二根，则 ，
解得：的取值范围．            --- --- ---16分
点评：解决该试题的关键是理解概念，运用函数的单调性和函数的某个区间，是否满足定义域和值域相同得到结论。