Question

【题目】定义在R上的函数f（x），f′（x）是其导数，且满足f（x）+f′（x）＞2，ef（1）=2e+4，则不等式exf（x）＞4+2ex（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ）
A.（1，+∞）
B.（﹣∞，0）∪（1，+∞）
C.（﹣∞，0）∪（0，+∞）
D.（﹣∞，1）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：设g（x）=exf（x）﹣2ex ， （x∈R），
则g′（x）=exf（x）+exf′（x）﹣2ex=ex[f（x）+f′（x）﹣2]，
∵f（x）+f′（x）＞2，
∴f（x）+f′（x）﹣2＞0，
∴g′（x）＞0，
∴y=g（x）在定义域上单调递增，
∵exf（x）＞2ex+4，
∴g（x）＞4，
又∵g（1）=ef（1）﹣2e=4，
∴g（x）＞g（1），
∴x＞1，
故选：A．
【考点精析】认真审题，首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减)．