Question

3．已知P_n（x_n，y_n）（n=1，2，3，…）在双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的右支上，F₁、F₂分别为双曲线的左、右焦点，且满足P₁F₂⊥F₁F₂，|P_n+1F₂|=|P_nF₁|，则数列{x_n}的通项公式x_n=（　　）

• A． 4n-2
• B． 4n-1
• C． $\frac{8n+1}{3}$
• D． $\frac{8n-1}{3}$

Answer 1

分析 求得双曲线的a，b，c，准线方程，由题意可得x₁=3，由|P_n+1F₂|=|P_nF₁|，运用双曲线的第二定义可得e（x_n+1-$\frac{4}{3}$）=e（x_n+$\frac{4}{3}$），即有x_n+1-x_n=$\frac{8}{3}$，运用等差数列的通项公式，计算即可得到所求．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的a=2，b=$\sqrt{5}$，c=3，
e=$\frac{3}{2}$，准线方程为x=±$\frac{4}{3}$，
由P₁F₂⊥F₁F₂，可得x₁=3，
又|P_n+1F₂|=|P_nF₁|，即为
e（x_n+1-$\frac{4}{3}$）=e（x_n+$\frac{4}{3}$）
即有x_n+1-x_n=$\frac{8}{3}$，
即有数列{x_n}为首项为3，公差为$\frac{8}{3}$的等差数列，
可得数列{x_n}的通项公式x_n=3+$\frac{8}{3}$（n-1）=$\frac{8n+1}{3}$．
故选C．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查等差数列的通项公式的运用，考查运算能力，属于中档题．