【题目】已知定义在上的奇函数.
(Ⅰ) 求的值;
(Ⅱ) 若存在,使不等式有解,求实数的取值范围;
(Ⅲ)已知函数满足,且规定,若对任意,不等式恒成立,求实数的最大值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ)6.
【解析】
(Ⅰ)定义在上的奇函数,所以利用特殊值求解,然后检验即可. (Ⅱ)首先根据定义证明函数在上单调递减,然后再根据单调性将等价转化为有解,即,求二次函数的最小值,即可解出实数的取值范围. (Ⅲ)首先根据,,解出,代入得到解析式,令,(),则,利用基本不等式求最值求出.
(Ⅰ)是上的奇函数,,
,
当时,,
此时是奇函数成立.
;
(Ⅱ)任取且,
,
,
上为减函数.
若存在,使不等式有解,则有解
,当时,, ,
(Ⅲ),
,
,
,且也适合,
,
任意,不等式恒成立,
,
令,
令,
任取且,
,
当时,,上为增函数.
当时,,上为减函数.
时即,
,
,
,
,且,
,同理在上是增函数,在上是减函数.
时,的最大值为6.
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【题目】为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标,分别从两厂随机各选取了个轮胎,将每个轮胎的宽度(单位: )记录下来并绘制出如下的折线图:
(1)分别计算甲、乙两厂提供的个轮胎宽度的平均值;
(2)轮胎的宽度在内,则称这个轮胎是标准轮胎.
(i)若从甲乙提供的个轮胎中随机选取个,求所选的轮胎是标准轮胎的概率;
(ii)试比较甲、乙两厂分别提供的个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差大小,根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况,判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好?
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点, 轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标为.
(1)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(2)若曲线和曲线有三个公共点,求以这三个公共点为顶点的三角形的面积.
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【题目】基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大发明”之一,短时间内就风靡全国,带给人们新的出行体验.某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况,对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计,结果如下表:
月份 | 2017.8 | 2017.9 | 2017.10 | 2017.11 | 2017.12 | 2018.1 |
月份代码 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
市场占有率 | 11 | 13 | 16 | 15 | 20 | 21 |
(1)请在给出的坐标纸中作出散点图,并用相关系数说明可用线性回归模型拟合月度市场占有率与月份代码之间的关系;
(2)求关于的线性回归方程,并预测该公司2018年2月份的市场占有率;
(3)根据调研数据,公司决定再采购一批单车扩大市场,现有采购成本分别为1000元/辆和800元/辆的两款车型报废年限各不相同.考虑到公司的经济效益,该公司决定先对两款单车各100辆进行科学模拟测试,得到两款单车使用寿命频数表如下:
经测算,平均每辆单车每年可以为公司带来收入500元.不考虑除采购成本之外的其他成本,假设每辆单车的使用寿命都是整数年,且用频率估计每辆单车使用寿命的概率,以每辆单车产生利润的期望值为决策依据.如果你是该公司的负责人,你会选择采购哪款车型?
参考数据: , , .
参考公式:相关系数;
回归直线方程为,其中, .
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),曲线的方程为.以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求直线和曲线的极坐标方程;
(2)曲线分别交直线和曲线于点,求的最大值及相应的值.
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【题目】某大学现有6名包含在内的男志愿者和4名包含在内的女志愿者,这10名志愿者要参加第十三届全运会支援服务工作,从这些人中随机抽取5人参加田赛服务工作,另外5人参加径赛服务工作.
(1)求参加田赛服务工作的志愿者中包含但不包含的概率;
(2)设表示参加径赛服务工作的女志愿者人数,求随机变量的分布列与数学期望.
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【题目】如图,在多面体中,已知是边长为2的正方形, 为正三角形, 分别为的中点, 且, .
(1)求证: 平面;
(2)求证: 平面;
(3)求与平面所成角的正弦值.
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【题目】以下四组函数中,表示同一函数的是
A.f(x)=,g(x)=x2–1B.f(x)=,g(x)=x+1
C.f(x)=,g(x)=()2D.f(x)=|x|,g(t)=
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