分析 (1)解方程可得an=$\frac{\sqrt{1+4{n}^{2}}-1}{2n}$,再由分子有理化,结合$\frac{1}{2n}$,$\frac{1}{4{n}^{2}}$在n∈N*上递减,即可得证;
(2)求出$\frac{1}{n{a}_{n}}$=$\frac{2}{\sqrt{1+4{n}^{2}}-1}$,分析法可得$\frac{2}{\sqrt{1+4{n}^{2}}-1}$<$\frac{1}{n-1}$,累加并运用不等式的性质即可得证.
解答 解:(1)an是方程x2+$\frac{x}{n}$=1的正根,
解得an=$\frac{\sqrt{1+4{n}^{2}}-1}{2n}$,
由分子有理化,可得an=$\frac{2n}{\sqrt{1+4{n}^{2}}+1}$
=$\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{4{n}^{2}}}+\frac{1}{2n}}$,
由$\frac{1}{2n}$,$\frac{1}{4{n}^{2}}$在n∈N*上递减,
可得an为递增数列,
即为an+1>an;
(2)证明:由an=$\frac{\sqrt{1+4{n}^{2}}-1}{2n}$,可得
$\frac{1}{n{a}_{n}}$=$\frac{2}{\sqrt{1+4{n}^{2}}-1}$,
由$\frac{2}{\sqrt{1+4{n}^{2}}-1}$<$\frac{1}{n-1}$?2n-1<$\sqrt{1+4{n}^{2}}$
?1+4n2-4n<1+4n2?-4n<0,显然成立,
即有$\frac{1}{2{a}_{2}}$+$\frac{1}{3{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{n{a}_{n}}$<1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}$
<1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$.
点评 本题考查数列的单调性的证明,考查不等式的证明,注意运用放缩法,考查推理能力和运算求解能力,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 2 | B. | 8 | C. | $\frac{1}{2}$ | D. | $\frac{1}{8}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | {x|2≤x<3} | B. | {x|2<x<3} | C. | {x|x≥3} | D. | {x|2<x≤3} |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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